Родился в Вендене (ныне Цесис, Латвия) 3 (15) июля 1889 в семье рабочего. Учился в Риге, сперва в Магнусхофской мореходной школе (1904–1907), а затем в Городском рисовальном училище (у В.Пурвитиса), которое окончил в 1914. Входил в кружок молодых латышских модернистов «Зеленый цветок». Обосновавшись в Москве в 1914 и женившись на художнице Н.А.Удальцовой, дружил с солдатами-революционерами из Латвии. В 1920–1932 был членом Института художественной культуры (Инхук) и преподавателем Высших художественно-технические мастерских (Вхутемас).В период сталинского «большого террора» Древин был арестован и казнен 26 февраля 1938
Сын рабочего. Пятнадцати лет поступил в Риге в мореходное училище. В 1908—1913 г. учился в рижском Городском рисовальном училище у В. Пурвитиса. К середине 1910-х гг. увлёкся модернистскими веяниями в живописи и в 1914 г. вошёл в число создателей объединения молодых латышских художников-авангардистов «Зелёный цветок» (латыш. Zaļā puķe), однако сразу после этого был вынужден вместе с семьёй уехать в Москву, где примкнул к группе «Бубновый валет». После Октябрьской революции в течение года руководил художественной студией для латышских стрелков при Национальном латышском комиссариате, где, в частности, встретился со своим товарищем по «Зелёному цветку» Карлом Иогансоном.
В первые послереволюционные годы Древин был замечен Малевичем, а Татлин предложил Древину работу в Отделе изобразительного искусства Наркомата просвещения. С 1920 г. Древин преподавал во Вхутемасе-Вхутеине, был руководителем мастерской до самого закрытия института в 1930 г. После этого Древин отошёл от преподавания и занимался только живописью, войдя в 1931 г. в состав художественной группы «Тринадцать».
Начиная с середины 1920-х гг. Древин и его жена художница Надежда Удальцова много ездят по Советскому Союзу, активно работая над пейзажами Урала, Алтая, Восточного Казахстана, Армении.
17 января 1938 г. Александр Древин был арестован в рамках сфабрикованного дела о заговоре латышских стрелков и после непродолжительного дознавания расстрелян на Бутовском полигоне. При аресте его жена спасла картины Древина от конфискации, выдав их за свои. Они были впервые выставлены в Москве в 1971 г.