Учился в Рижской художественной средней школе Я. Розенталса (1945 – 49), в Рижской ремесленной средней школе (1945 – 50). В 1962 году он закончил отдел Живописи Латвийской Государственной Академии художеств с дипломной работой «В Броцены» (под руководством Э. Калниньша).
Л. Купцис работал живописцем сцены в Молодежном театре (1955 – 56), художником в кинотеатре «Pionieris» (1962 – 64), художником постановщиком в группе кино в ТВ (с 1964 года).
В выставках художник участвовал с 1956 года.
Персональные выставки организованы в Юрмале (1969, вместе с П. Душкин), Риге (1972, вместе с А. Артумом, А. Юнкером, Л. Давидовой - Меднэй).
Памятные выставки организованы в Риге (1978), Кокнесе, Кулдыге, Салдус, Екабпилсе (1978),Валмиере, Алуксне, Вентспилсе (1979).
С 1968 года он член Союза художников.