Родился в семье художника Карла Беггрова. Учился в Инженерно-артиллерийском училище Морского ведомства. В 1863 принял офицерскую присягу и поступил на службу во флот. Сопровождал Великого князя Алексея Александровича в кругосветном плавании в 1871—1872 гг. В 1873 г. А. Беггров поступает в Академию Художеств и начинает обучение в пейзажном классе профессора М. К. Клодта. В 1874 году выходит в отставку и уезжает в Париж. В 1875 году, в связи со смертью отца, возвращается в Россию. В 1899 году был удостоен Советом Академии Художеств звания академика. В 1892 году поселился в Гатчине. С 1906 года он безвыездно живёт в Гатчине. Последние полтора года жизни из-за тяжелой болезни был вынужден оставить занятия живописью. В ночь с 14 на 15 апреля 1914 г. А. Беггров, измученный болезнью, покончил с собой выстрелом в сердце.
Сын художника К. П. Беггрова. Живописец и акварелист. Многие его работы посвящены морской тематике - видам портовых городов, изображению известных морских судов ("Набережная Невы", 1876; "Гавр", 1876; "Вид Петербурга", 1882; "Салон броненосца "Чесма"", 1902; "Венеция", 1906, и др.).
Унаследовав от отца художественные способности, А. К. Беггров тем не менее стал морским офицером. Лишь в 1870 г., вполне взрослым человеком, он начал посещать Петербургскую Академию Художеств в качестве вольнослушателя по мастерской М. К. Клодта.
В 1871- 74 гг. образование продолжил в Париже у Ж.-Ф. Бонна и А. П. Боголюбова. Во Франции его излюбленными мотивами были виды прибрежных районов - Трепора, Гавра, Конкарпо. Море надолго захватывает воображение художника, утверждается в качестве главной темы творчества.
Правда, в своих ранних произведениях ни еще не вполне самостоятелен. В это время Беггров находится под влиянием популярного французского мариниста Э. Изабе. 15 1873 г. за выставленные в АХ работы "Вид юрода Канеи на острове Кондии", "Императорская яхта "Держава"", "Пароход "Великий князь Константин"" А. Беггров был удостоен малой серебряной медали.
С 1874 г. он принимает участие в выставках ТПХВ, а с 1876 г. становится полноправным членом товарищества. У А. Беггрова в 1870-80-х гг. появляется интерес к оживлению пейзажа фигурами людей - стаффажем. Наряду с морскими видами он теперь все чаще пишет городские. Показанная на VII передвижной выставке картина "Набережная Невы" (1876) положила начало циклу петербургских пейзажей художника. А. Беггров писал не только масляными красками, он охотно работал акварелью.
В 1885 г. художник выступил одним из учредителей "Общества русских акварелистов". Акварелью выполнены многие виды Петербурга, Венеции, Нормандии. Будучи морским офицером и художником Морского ведомства, Беггров участвовал в нескольких кругосветных экспедициях. В 1899 г. Петербургская АХ удостаивает его звания академика живописи, а в 1912 г. он уже ее почетный член. При жизни художник пользовался большой известностью. Его работы воспроизводились в таких популярных журналах, как "Нива", "Север", "Всемирная иллюстрация".