Происходил из старинного дворянского рода Аничковых. Родился в родовой усадьбе Зализенье Десято-Пятницкой волости Боровичского уезда. Окончил СПб. университет и консерваторию, был широко образованным человеком, владел всеми европейскими языками. Учился рисовать у своего друга художника О.Э. Браза.
Есть сведения, что работы А.И. Аничкова выставлялись в парижском Салоне
(нач ХХ в.). В 1920 г. работал в Боровичском музее, в 1921-1922 гг.- в городской библиотеке. В 1920 г. 6 его картин (4 портета и 2 пейзажа) из своей коллекции передал в Русский музей, а ценные книги из своей библиотеки в ИРЛИ (Пушкинский Дом) и в Боровичскую библиотеку. Несколько книг из библиотеки А.И. с экслибрисом О.Э. Браза хранятся в Боровичском краеведческом музее. В 1923 г. уехал в Петроград, а оттуда – в Лондон, где и умер. В Лондоне жил на средства от продажи картин, которые писал по памяти и на основе эскизов, сделанных в окрестностях Боровичей. В коллекции Боровичского музея имеются два альбома карандашных рисунков нач. 1920-х гг. А.И. Аничкова с видами ус. Зализенье и ее окрестностей.
