Его родители были выходцами из Италии. Его дед по отцовской линии Цезарь Пуни — известный балетный композитор. Отец Альберт (в православии Андрей) Пуни — виолончелист Мариинского театра.
В 1915—1916 годах Иван Пуни был членом творческого союза художников-авангардистов «Супремус», создателем которого был Казимир Малевич.
В 1919 году Иван Пуни преподавал в Художественном институте в Витебске под началом Марка Шагала.
Иван Пуни был женат на Ксении Богуславской, которая тоже была художником-авангардистом, а также дизайнером и поэтессой. В начале 1920-х годов они эмигрировали — сначала в Германию, потом во Францию.
В 1946 году Иван Пуни принял французское гражданство.
Сын виолончелиста, внук итальянского композитора Цезаря Пуни (1802-1870). Начальное музыкальное и художественное образование получил в семье. В 1900-1908 гг. – учился в гимназии и военном училище в Петербурге, брал частные уроки рисования у И. Е. Репина. В 1910-1911 гг. – занимался в академии Р. Жюльена в Париже. В 1912 г. – в Петербурге познакомился с Д. Д. Бурлюком, В. В. Маяковским, К. С. Малевичем, В. В. Хлебниковым, М. Ф. Ларионовым. Писал картины в духе фовизма и кубизма. В 1912-1913 гг., 1913-14 гг. – член «Союза молодежи», участвует в выставках объединения. В 1913 г. – выпустил футуристический сборник «Рыкающий Парнас», тираж которого был арестован цензурой и почти полностью уничтожен. В 1914 г. – посетил вместе с женой (художницей К. Л. Богуславской) Париж, участвовал в салоне Независимых. В 1915-1916 гг. – организовал в Петербурге первую футуристическую выставку «Трамвай В» и последнюю футуристическую выставку «0, 10», в которых участвовали К. С. Малевич, В. Е. Татлин, А. А. Экстер, Л. С. Попова, Н. А. Удальцова, И. В. Клюн и др. Составил манифест, декларирующий освобождение картины от смыслового содержания. Совместно с Малевичем выступил с лекцией «Кубизм-футуризм-супрематизм». В 1916 г. – учувствует в выставке «Бубнового валета». В 1917 г. – стал одним из учредителей союза «Свобода искусству» и общества «0, 10». С 1918 г. – профессор петроградских ГСХМ. С 1919 г. – работает в коллегии по делам искусств в Витебске и преподает в Народной художественной школе. С 1920 г. – живет в Берлине, создает много беспредметных картин, оформляет и иллюстрирует детские книги, рисует эскизы декораций и костюмов для русских театров-кабаре. В 1921 г. – персональная выставка в галерее Der Stutm. В 1922-1924 гг. – входит в «Ноябрьскую группу», участвует в выставках в Берлине и Кельне. В 1923 г. – переезжает в Париж, где сближается с Ф. Леже, А. Марке, Дж. Северини. Участвует в выставках и в салонах Тюильри, Независимых, Осеннем. С 1933 г. – член секции художников Союза деятелей русского искусства во Франции. В 1940-1942 гг. – живет в Антибе, на юге Франции, поддерживает тесную связь с супругами Делоне. В 1947 г. – кавалер ордена Почетного легиона.